Question

已知一條拋物線和一個橢圓都經過點M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點F₁，且兩者的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在坐標原點．
（1）求拋物線的方程和橢圓方程；
（2）假設橢圓的另一個焦點是F₂，經過F₂的直線l與拋物線交于P，Q兩點，且滿足

F2P

=m

F2Q

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設拋物線、橢圓的標準方程，利用拋物線和一個橢圓都經過點M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點F₁，即可求得拋物線的方程和橢圓方程；
（2）設直線的方程為y=k（x+1），聯立方程得

y=k(x+1) y2=4x

，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，根據直線l與拋物線相交于P、Q兩點，確定k的范圍，利用

F2P

=m

F2Q

，可得

1

m

+m=

4

k2

-2，利用k的范圍，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
把M（1，2）點代入方程得：拋物線方程為y²=4x…（2分）
所以F₁（1，0），
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓經過點M，橢圓的焦點F₁（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 4 b2 =1

∴a2=3+2

2

，b2=2+2

2

，
∴橢圓方程為

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1…（6分）
（2）橢圓的焦點F₁（1，0），另一個焦點為F₂（-1，0），
設直線的方程為y=k（x+1），聯立方程得

y=k(x+1) y2=4x

，
消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因為直線l與拋物線相交于P、Q兩點，所以

k≠0 (2k2-4)2-4k2＞0

，解得-1＜k＜1且k≠0…（9分）
設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 4-2k2 k2 x1•x2=1

，
由

F2P

=m

F2Q

得（x₁+1，y₁）=m（x₂+1，y₂），所以

x1+1=m(x2+1) y1=my2

，
∵P、Q為不同的兩點，∴m≠1，y12=m2y22，
即4x1=m2•4x2，∴x1=m2x2
解得x2=

1

m

，x1=m，
∴x1+x2=

1

m

+m…（12分）
即

1

m

+m=

4

k2

-2，
∵0＜k²＜1，
∴

4

k2

-2＞2，即

1

m

+m＞2
∴m＞0且m≠1…（14分）

點評：本題重點考查拋物線、橢圓的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定k的范圍，找出k，m的關系，綜合性強