Question

【題目】在平面直角坐標系中，分別是橢圓的左、右頂點(如圖所示)，點在橢圓的長軸上運動，且.設圓是以點為圓心，為半徑的圓.

（1）若，圓和橢圓在第一象限的交點坐標為，求橢圓的方程；

（2）若橢圓的離心率為，過點作互相垂直的兩條直線，交橢圓于P,Q兩點，若直線PQ過點M，求m的值（用含的代數式表示）；

（3）當圓與橢圓有且僅有點一個交點時，求的運動范圍（用含的代數式表示）.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）先求圓的半徑，再得B坐標，即得，根據點在橢圓上解得,（2）根據離心率得，根據BP⊥BQ，利用向量數量積化坐標表示，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡可得結果，（3）根據題意得不等式，利用坐標表示得，最后利用導數確定函數最大值，即得結果.

（1）,則

即橢圓的方程為，

（2）因為橢圓C的離心率為，則 ， ，

點，橢圓的方程為．

設直線PQ的方程為x＝ty＋m(0<m<2b)，

將x＝ty＋m代入，

得.

由題設可知Δ＝16(4b2－m2＋b2t2)＞0.

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝ ，y1y2＝.

而x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2m＝.

x1x2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＝t2y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝.

由題設BP⊥BQ，即 .

＝(x1-2b，y1)(x2-2b，y2)＝(x1-2b)(x2-2b)＋y1y2＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝x1x2＋y1y2－2b(x1＋x2)＋4b2 ，

化簡得5m2－16bm+12b2＝0，解得m＝2b(舍)，m＝.

所以m＝.

，

，，

，

，，

所以m的取值范圍是.