Question

如圖，橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點是F（1，0），0為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）點M是直線l：x=4上的動點，以OM為直徑的圓過點N，且NF⊥OM，是否存在一個定點，使得N到該定點的距離為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，得到橢圓短軸的三分之一的值，由此列式可以得到橢圓的半短軸的長，結合a²=b²+c²可以得到a²的值，所以橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出N的坐標，求出NF所在直線的斜率，由NF⊥OM得到OM所在直線的斜率，寫出OM所在直線方程后得到M點的坐標，求出ON和MN的斜率，由以OM為直徑的圓過點N，得到ON和MN所在直線的斜率之積等于-1，列式整理后即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，且c=1，
所以，解得．
∴a²=b²+c²=4．
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）存在定點O（原點），使得N到該定點的距離為定值，如圖，
設N（x，y），則直線NF的斜率為，
直線ON的斜率為
∵NF⊥OM，∴直線OM的斜率為，
∴直線OM的方程為，點M的坐標為．
∴直線MN的斜率為．
∵ON⊥MN，∴k_MN•k_ON=-1，∴，
整理得．
∴存在定點O（原點），使得N到該定點的距離為定值，且該定值為2．
點評：本題考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法和數形結合的解題思想，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．