Question

在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2

2

a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求證：PA⊥平面ABCDE；
（2）若G為PE中點，求證：AG⊥平面PDE
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；
（4）求點C到平面PDE的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證PA⊥平面ABCDE，只需證明PA垂直平面ABCDE上的兩條相交直線即可，在三角形PAB中運用勾股定理，可證明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同樣用勾股定理，可證明PA垂直AE，這樣就可證明PA⊥平面ABCDE．
（2）欲證AG⊥平面PDE，只需證明AG垂直于平面PDE中的兩條相交直線，在三角形中PA=AE=2a，所以可知AG垂直PE，再通過
ED⊥平面PAE，利用線面垂直的性質，可得AG垂直于DE，則AG⊥平面PDE可證．
（3）欲求二面角A-PD-E的大小，先找到二面角的平面角，利用三垂線定理，因為AG⊥平面PDE，所以只需過G作GH⊥PD于H，連AH，則AH⊥PD，∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．再放入直角△PAE中，求出∠AHG的正弦值．
（4）欲求點C到平面PDE的距離，只需過C點向平面PDE作垂線，但是垂足位置不容易找到，所以可以轉化為其它點到平面的距離．證明CF∥DE，則點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離，就可求F到平面PDE的距離．再由（3）中結論知FG⊥平面PDE，所以FG的長即F點到平面PDE的距離，放入△PAE中求出即可．

解答：解：（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2

2

a，∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．
（2）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．
∵PA=AE，G為PE中點，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE
（3）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，過DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE．過G作GH⊥PD于H，連AH，由三垂線定理得AH⊥PD．
∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG=

2

a．在直角△PAD中，AH=

2 5

3

a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG=

AG

AH

=

3 10

10

．
∴二面角A-PD-E的正弦值為

3 10

10

．
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，取AE中點F，連CF，∵AF∥=BC，∴四邊形ABCF為平行四邊形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則 FG⊥平面PDE．
∴FG的長即F點到平面PDE的距離．
在△PAE中，PA=AE=2a，F為AE中點，FG⊥PE，∴FG=

2

2

a．∴點C到平面PDE的距離為

2

2

a．（或用等體積法求

點評：本題主要考查了在幾何體中，線面垂直的證明，二面角，以及點到平面的距離求法，考查了學生的空間想象力，識圖能力，邏輯推理能力，以及計算能力．