Question

如圖，在五棱錐P-ABCD中PA 丄平面ABCDE，PA=AB=AE=2BC=2DE=2，∠DEA=∠EAB=∠ABC=90°
（1）求二面角P-DE-A的大小
（2）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）易證∠APE為二面角P-DE-A的平面角，在直角三角形PAE中，求出此角即可；
（2）過C作CF∥AB交AE與F，易知點C到平面PDE的距離等于點F到平面PDE的距離，過F作FH⊥PE于H，則FH⊥平面PDE
求出FH與PC，從而求出直線PC與平面PDE所成角的正弦值．

解答：解：（1）PA⊥平面ABCDE，∠DEA=90°即AE⊥ED
∴PE⊥ED，故∠APE為二面角P-DE-A的平面角
在直角三角形PAE中，由于PA=AE
因此∠APE=45°即二面角P-DE-A的大小45°
（2）過C作CF∥AB交AE與F，又由∠DEA=∠EAB=90°
得AB∥DE，∴CF∥DE
∴CF∥平面PDE
故點C到平面PDE的距離等于點F到平面PDE的距離
由（1）可得DE⊥平面PAE，∴平面PDE⊥平面PAE
過F作FH⊥PE于H，則FH⊥平面PDE
則FH=EFsin45°=

2

2

，又PC=

AC2+PA2

=3
設直線PC與平面PDE所成角為α，則sinα=

FH

PC

=

2

6

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角以及二面角的平面角及求法，求出線面所成角的關鍵是尋找所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．