Question

已知函數f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數）．
（1）若a=1，求f（x）的單調區間；
（2）若a＞0，設f（x）在區間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）對解析式進行配方整理，根據二次函數頂點點式的形式，結合對稱軸來判斷函數的單調區間．本題中的函數由于帶著絕對值號，故在研究函數性質時要先去絕對值號變成分段函數形式來研究函數的性質．
（2）本小題研究區間區間[1，2]的最小值，故可以直接去掉絕對值號，仍然要配方整理，整理后可以看出，本題是二次函數求最值問題中區間定軸動的問題，故分類討論對稱軸的位置，以確定區間[1，2]單調性，求出最小值為g（a），其形式是一個分段函數的形式．

解答：解：（1）a=1時，f(x)=x2-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2+ 3 4 ，x＜0

（2分）
∴f（x）的單調增區間為（

1

2

，+∞），（-

1

2

，0）f（x）的單調減區間為（-∞，-

1

2

），（0，

1

2

）
（2）由于a＞0，當x∈[1，2]時，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
100＜

1

2a

＜1即a＞

1

2

f（x）在[1，2]為增函數g（a）=f（1）=3a-2
201≤

1

2a

≤2即

1

4

≤a≤

1

2

時，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
30

1

2a

＞2即0＜a＜

1

4

時f（x）在[1，2]上是減函數g（a）=f（2）=6a-3
綜上可得g(a)=

6a-3，0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

（10分）
所以實數a的取值范圍是[-

1

2

，1]

點評：本題考點是函數的單調性與單調區間，考查的是二次函數的單調性與二次函數在閉區間上的最值問題，二次函數的單調性的研究通常借助其圖象來研究，本題中由于函數的系數帶著字母，故需要對對稱軸的位置進行討論，用到了分類討論的思想，區間定軸動是二次函數求最值問題的重要的一類，其規律是在不同的區間段上討論函數的單調性，做題時要注意總結這一規律．