Question

已知函數f（x）=x²-alnx
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間和極值
（2）若函數g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用f（x）=x²-2lnx，x＞0，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，x＞0，解不等式即可得到單調區間．
（2）構造函數h（x）=2x²-

2

x

，x∈[1，4]，把2x-

a

x

-

2

x2

≤0，在[1，4]上恒成立，轉化為a≥h（x）_max，求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-alnx，a=2
∴f（x）=x²-2lnx，x＞0，
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，x＞0
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

＞0，則x＞1，
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

＜0，則0＜x＜1
f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

=0，x=1
∴f（x）=x²-2lnx，x＞0，在（0，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增．
極小值為f（1）=1
（2）∵函數g（x）=f（x）+

2

x

，f（x）=x²-alnx，
∴g（x）=x²-alnx+

2

x

，x＞0，
即g′（x）=2x-

a

x

-

2

x2

∵g（x）=x²-alnx+

2

x

，在[1，4]上是減函數，
∴2x-

a

x

-

2

x2

≤0，在[1，4]上恒成立，
即a≥2x²-

2

x

，在[1，4]上恒成立，
令h（x）=2x²-

2

x

，x∈[1，4]，單調遞增
所以h（x）_max=h（4）=

63

2

a≥

63

2

故實數a的取值范圍為：[

63

2

，+∞）

點評：本題考查了函數的單調性與導數的關系，不等式的恒成立問題，屬與難題．