Question

【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.

（1）求球的表面積；

（2）證明：平面平面，且平面平面.

（3）與側(cè)面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）先取的中點(diǎn),連接.根據(jù),得出的外心為.再因?yàn)?/span>,則.平面平面,平面平面,所以平面,球心在上.得出是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).然后求出球的半徑,則得出球的表面積為.

（2）根據(jù)在上,則平面,又平面,則有平面平面.再證平面平面,所以有平面,又平面,即可證得平面平面.

（3）先求到平面的距離.設(shè),到平面的距離為.由平面平面,得到三角形相似,則可得的面積,求出,得到到平面的距離為,則四面體的體積.轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得最大值.

（1）解：取的中點(diǎn),連接.

因?yàn)?/span>,所以的外心為.

因?yàn)?/span>,所以.

又平面平面,平面平面,所以平面,

所以在上.

因?yàn)?/span>是等邊三角形,所以是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

由題意得,解得,

所以球的半徑,球的表面積為.

（2）證明：因?yàn)?/span>在上,所以平面,

又平面,所以平面平面.

連接,則,又平面平面,所以平面,

又平面,所以平面平面.

（3）解：因?yàn)?/span>,所以到平面的距離.

設(shè),到平面的距離為.

因?yàn)槠矫?/span>平面,所以,則的面積為.

又,所以到平面的距離為,

所以四面體的體積.

設(shè),,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.

所以,

即四面體的體積的最大值為.