Question

設點F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦點，P為雙曲線上的一點，且

PF1

•

PF2

=-

2c2

3

，則此雙曲線的離心率的取值范圍是

[

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：設P（m，n），得

PF1

•

PF2

=m²-c²+n²=-

2

3

c²，整理得：m²+n²=

1

3

c²…（1）．根據點P（m，n）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點，得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式并整理得：

c2

a2

m²=

4

3

c²-a²…（2）．最后根據m滿足m²≥a²，代入（2）式解關于a、c的不等式，得c≥

3

a，由此即可得出此雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：設P（m，n），得

PF1

=(-c-m，-n)，

PF2

=(c-m，-n)
∴

PF1

•

PF2

=（-c-m）（c-m）+n²=-

2

3

c²，即m²+n²=

1

3

c²，…（1）
∵P（m，n）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，解得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式得

c2

a2

m²-b²=

1

3

c²，整理得：

c2

a2

m²=

4

3

c²-a²，…（2）
∵點P在雙曲線上，橫坐標滿足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得

4

3

c²-a²≥

c2

a2

•a²=c²
化簡，得

1

3

c2≥a²，所以c≥

3

a，
因此雙曲線的離心率e=

c

a

≥

3

，得e∈[

3

，+∞）
故答案為：[

3

，+∞）

點評：本題給出雙曲線上點P指向兩個焦點F₁、F₂的向量的數量積，求此雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了向量數量積的公式和雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．