Question

已知函數f（x）=asinx+bcosx的圖象經過點(

π

3

，0)和(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求實數a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調增區間．
（Ⅲ）求f（x）在區間[-

π

3

上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

f( π 3 )=0 f( π 2 )=1

可求得a，b的值；
（Ⅱ）由a=1，b=-

3

知，f（x）=2sin（x-

π

3

），利用正弦函數的單調性即可求f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）由-

π

3

≤x≤

2π

3

⇒-

2π

3

≤x-

π

3

≤

π

3

，從而可求f（x）=2sin（x-

π

3

）在區間[-

π

3

，

2π

3

]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=asinx+bcosx的圖象經過點（

π

3

，0），（

π

2

，1），
∴

f( π 3 )=0 f( π 2 )=1

，即

3 2 a+ 1 2 b=0 a=1

，
解得a=1，b=-

3

．
（Ⅱ）由a=1，b=-

3

知，
f（x）=sinx-

3

cosx
=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）
=2sin（x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得：2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴f（x）的單調增區間為[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]（k∈Z），
（Ⅲ）∵-

π

3

≤x≤

2π

3

，
∴-

2π

3

≤x-

π

3

≤

π

3

，
∴-1≤sin（x-

π

3

）≤

3

2

，
∴f（x）=2sin（x-

π

3

）∈[-2，

3

]，
即f（x）=2sin（x-

π

3

）在區間[-

π

3

，

2π

3

]上的值域為[-2，

3

]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查正弦函數的單調性與定義域、值域的綜合應用，屬于中檔題．