Question

（本小題滿分13分）

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率．

（1）求證：，，依次成等差數列；

（2）若F(，0)，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

Answer 1

解：（1）由已知e²＝，即＝，故a²＝c²，           ①

從而b²＝c²－a²＝c²，                                               ②

故＝＝，設∠AOF＝∠BOF＝，＝．

故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝．

令＝3m(m＞0) ，則＝4m，＝5m，滿足＋＝2，

所以，，，依次成等差數列．

（2）由已知c²＝5，代入①，②得a²＝4， b²＝1，

于是雙曲線的方程為．

設直線AB的斜率為k，則k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2．

于是直線AB的議程為 y＝2(x－)．…………………………………………9分

聯立 消y得15x²－x＋84＝0．

故弦CD的長度 | CD |＝＝×＝…13分