Question

定義在R上的函數f（x）對任意實數x滿足f（x+1）=f（-x-1）與f（x+1）=f（x-1），且當x∈[3，4]時，f（x）=x-2，則（　　）

• A、f(sin

  1

  2

  )＜f(cos

  1

  2

  )
• B、f(sin

  1

  3

  )＜f(cos

  1

  3

  )
• C、f(sin

  π

  3

  )＞f(cos

  π

  3

  )
• D、f（sin1）＜f（cos1）

Answer 1

分析：先通過給定條件確定函數為偶函數且是以2為周期的周期函數，然后確定函數f（x）在區間（0，1）的增減性進而得到答案．

解答：解：由于在R上的函數f（x）對任意實數x滿足f（x+1）=f（-x-1），說明f（x）是偶函數； f（x+1）=f（x-1），推出f（x）=f（x+2），說明f（x）是以2為周期的函數； x屬于（3，4）時，f（x）=x-2，由于f（x）以2為周期，可得在（-1，0）上f（x）=x-2；
又由于f（x）是偶函數，所以在（0，1）上f（x）=-x-2，是減函數．（所給四個選項的定義域均為（0，1）） A和B中1/2和1/3的情況相同，大于0小于π/4，sin值小于cos值，因為f是減函數，所以都應該是前者大于后者． C和D中的π/3和1，大于π/4小于1，sin值大于cos值，因為f是減函數，所以應該是前者小于后者，于是，只有D是正確的．
故選D．

點評：本題主要考查函數的基本性質--周期性和對稱性．