Question

學校文娛隊中的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有5人，會跳舞的有7人，現從中隨機選出3人．記X為選出的3人中既會唱歌又會跳舞的人數，且P（X≥1）=

8

15

．
（Ⅰ）求學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的人數；
（Ⅱ）求選出的3人中1人會唱歌2人會跳舞的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的人數為n，則文娛隊共有12-n個人，其中只會唱歌或只會跳舞一項的人數為12-2n人． 由 P(X≥1)=

8

15

，可得 P(X=0)=

7

15

，即

C 3 12-2n

C 3 12-n

=

7

15

，再由12-2n≥3，且n是整數，求得n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知學校文娛隊的人數為10人，其中只會唱歌的有3人，只會跳舞的有5人，既會唱歌又會跳舞的有2人，設“選出的3人中1人會唱歌2人會跳舞”為事件A，
根據P(A)=

C 1 3 C 2 7 + C 1 2 C 2 5 + C 2 2 C 1 5

C 3 10

，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）設學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的人數為n，則文娛隊共有12-n個人，其中只會唱歌或只會跳舞一項的人數為12-2n人．  …（2分）
由 P(X≥1)=

8

15

，得 1-P(X=0)=

8

15

，所以 P(X=0)=

7

15

．    …（4分）
所以 

C 3 12-2n

C 3 12-n

=

7

15

，…（6分）
即 

(12-2n)(11-2n)(10-2n)

(12-n)(11-n)(10-n)

=

7

15

．
注意到12-2n≥3，且n是整數，從而n=0，1，2，3，4．
將n的這5個值代入上式檢驗，得n=2符合題意，所以學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的有2人．   …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知學校文娛隊的人數為10人，其中只會唱歌的有3人，只會跳舞的有5人，既會唱歌又會跳舞的有2人．     …（9分）
設“選出的3人中1人會唱歌2人會跳舞”為事件A，…（10分）
所以，P(A)=

C 1 3 C 2 7 + C 1 2 C 2 5 + C 2 2 C 1 5

C 3 10

=

11

15

． …（13分）

點評：本題主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．