Question

學校文娛隊中的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有5人，會跳舞的有7人，現從中隨機選出3人．記X為選出的3人中既會唱歌又會跳舞的人數，且P（X≥1）=．
（Ⅰ）求學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的人數；
（Ⅱ）求選出的3人中1人會唱歌2人會跳舞的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的人數為n，則文娛隊共有12-n個人，其中只會唱歌或只會跳舞一項的人數為12-2n人． 由 ，可得 ，即 ，再由12-2n≥3，且n是整數，求得n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知學校文娛隊的人數為10人，其中只會唱歌的有3人，只會跳舞的有5人，既會唱歌又會跳舞的有2人，設“選出的3人中1人會唱歌2人會跳舞”為事件A，
根據，運算求得結果．
解答：解：（Ⅰ）設學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的人數為n，則文娛隊共有12-n個人，其中只會唱歌或只會跳舞一項的人數為12-2n人．  …（2分）
由 ，得 ，所以 ．    …（4分）
所以 ，…（6分）
即 ．
注意到12-2n≥3，且n是整數，從而n=0，1，2，3，4．
將n的這5個值代入上式檢驗，得n=2符合題意，所以學校文娛隊中既會唱歌又會跳舞的有2人．   …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知學校文娛隊的人數為10人，其中只會唱歌的有3人，只會跳舞的有5人，既會唱歌又會跳舞的有2人．     …（9分）
設“選出的3人中1人會唱歌2人會跳舞”為事件A，…（10分）
所以，． …（13分）
點評：本題主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．