Question

已知命題p：實數m滿足方程

x2

m-3a

+

y2

m-4a

=1（a＞0）表示雙曲線；命題q：實數m滿足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，且q是p的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出p，q成立的等價條件，然后利用q是p的必要不充分條件，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：若方程

x2

m-3a

+

y2

m-4a

=1（a＞0）表示雙曲線，
則（m-3a）（m-4a）＜0，（a＞0），
解得3a＜m＜4a，
即p：3a＜m＜4a．
若方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦點在y軸上的橢圓，
則2-m＞m-1＞0，
解得1＜m＜

3

2

，
即q：1＜m＜

3

2

．
若q是p的必要不充分條件，
則p⇒q，
從而有：

3a≥1 4a≤ 3 2

，
解得

1

3

≤a≤

3

8

．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用雙曲線和橢圓的方程的等價條件是解決本題的關鍵．