Question

已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．(Ⅰ）求拋物線的方程；
(Ⅱ）動直線恒過點與拋物線交于A、B兩點，與軸交于C點，請你觀察并判斷：在線段MA，MB，MC，AB中，哪三條線段的長總能構成等比數列？說明你的結論并給出證明．

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列.

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓方程為：，∴，
所以，橢圓的右焦點為（1 , 0），拋物線的焦點為（，0），所以＝2，
則拋物線的方程為 
（Ⅱ）設直線l：，則C（－，0）， 
由　得，
因為△＝，所以k＜1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
所以由弦長公式得：，，，
，
通過觀察得：＝()·＝()·＝.
若＝，則，不滿足題目要求.
所以存在三線段MA、MC、MB的長成等比數列.
點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查拋物線的方程，考查直線與武平縣的位置關系，考查韋達定理的運用，考查等比數列的判定，屬于中檔題．