Question

某班級(jí)共有50名學(xué)生，其中男同學(xué)30人，女同學(xué)20人．現(xiàn)按性別分層抽樣，抽取10人成立一興趣小組，該興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
晝夜溫差x（°C）	10	11	13	12	8	6
就診人數(shù)y（人）	22	25	29	26	16	12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組，用這4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）若從興趣小組中推選出2人擔(dān)任正、副組長．記這2人中“是女生”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望．
（2）若選取的是2至5月份的4組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；
（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得到的線性回歸方程是否理想？
（參考公式：b=

n i=1 ( x   i - . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x．

）

Answer 1

分析：（1）首先求出10人興趣小組中男女生各占的人數(shù)，其中男生6人，女生4人，所以選出2人中“是女生”的人數(shù)為ξ的取值分別為0，1，2，
然后運(yùn)用古典概率模型求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列后運(yùn)用公式求期望；
（2）選出2至5月份的4組數(shù)據(jù)，求出

.

x

和

.

y

，代入給出的公式求出b和a，則線性回歸方程可求；
（3）把1月份和6月份的數(shù)據(jù)代入回歸方程驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）用分層抽樣的方法，選出的10人中，男同學(xué)為30×

1

5

=6人，女同學(xué)為20×

1

5

=4人，
故ξ的可能取值是0、1、2．
則p（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，p（ξ=1）=

C 1 6 C 1 4

C 2 10

=

8

15

，p（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=0.8
（2）選出的四組數(shù)據(jù)為（11，25），（13，29），（12，26），（8，16）

.

x

=

1

4

(11+13+12+8)=11，

.

y

=

1

4

(25+29+26+16)=24
根據(jù)參考公式得
b=

(11-11)(25-24)+(13-11)(29-24)+(12-11)(26-24)+(8-11)(16-24)

(11-11)2+(13-11)2+(12-11)2+(8-11)2

=

18

7

a=24-

18

7

×11=-

30

7

．
所以線性回歸方程：y=

18

7

x-

30

7

．
（3）令x=10，得y=

150

7

，|

150

7

-22|=

4

7

＜2
令x=6，得y=

78

7

，|

78

7

-12|=

6

7

＜2
∴所得的線性回歸方程是理想的．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分層抽樣方法，線性回歸方程及離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了古典概型及其概率的求法，解答此題的關(guān)鍵是正確列出隨機(jī)變量ξ的分布列，此題是中檔題．