Question

【題目】已知函數f （x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=．

（Ⅰ）求函數f （x）的單調區間；

（Ⅱ）x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見解析（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．對a分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出；

（Ⅱ）由x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．設h（x）=，則問題轉化為a，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．

當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上單調遞減；

當a＞0時，令f′（x）=0得x=lna．

由f′（x）＞0得f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，lna）；

由f′（x）＜0得f（x）的單調遞減區間為（lna，+∞）．

（Ⅱ）∵x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，則，即a≤．

設h（x）=，則問題轉化為a，

由h′（x）=，令h′（x）=0，則x=．

當x在區間（0，+∞） 內變化時，h′（x）、h（x）變化情況如下表：

由上表可知，當x=時，函數h（x）有極大值，即最大值為．

∴．