Question

如圖，是孝感市在城市改造中的沿市內主干道城站路修建的圓形休閑廣場，圓心為O，半徑為100m，其與城站路一邊所在直線l相切于點M，A為上半圓弧上一點，過點A作l的垂線，垂足為B．市園林局計劃在△ABM內進行綠化，設△ABM的面積為S（單位：m²）．
（1）以△AON=θ（rad）為自變量，將S表示成θ的函數；
（2）為使綠化的面積最大，試確定此時點A的位置及其最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數的定義求出BM，AB的長，利用三角形的面積公式求出△ABM的面積
（2）對S求導，令導函數為0求出根，判斷根左右兩邊導函數的符號，求出S的最大值．
解答：解：（1）由題知：BM=AOsinθ=100sinθ，AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ    θ∈（0，π）
則S=MB•AB=×100sinθ×（100+100cosθ）
=5000sinθ（1+cosθ）
（2）s′=5000（2cos²θ+cosθ-1）=5000（2cosθ-1）（cosθ+1）
令S′=0得cosθ=，cosθ=-1（舍去），此時θ=
當θ∈時，S′＞0；
∴當θ=時，S取得極大值，即S_最大值=3750
答：當AO與ON成60°角時，綠化面積最大，最大面積為3750 m²

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數的模型、函數單調性的應用、利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．