Question

弦AB經過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則下列敘述中，錯誤的選項是（　　）

A．當AB與x垂直時，|AB|最小

B．|AB|=x1+x2+p

C．以弦AB為直徑的圓與直線x=- p 2 相離

D．y1y2=-p2

Answer 1

解；焦點F坐標（

p

2

，0），設直線L過F，則直線L方程為y=k（x-

p

2

）
聯立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
由韋達定理得x₁+x₂=p+

2p

k2

  x₁x₂=

p2

4

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正確
|AB|=x₁+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

=2p（1+

1

k2

）∴B正確
因為k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

當a=90°時，即AB垂直于X軸時，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正確
故選C