Question

弦AB經過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則下列敘述中，錯誤的選項是（　　）

• A．當AB與x垂直時，|AB|最小
• B．|AB|=x₁+x₂+p
• C．以弦AB為直徑的圓與直線x=-

  p

  2

  相離
• D．y₁y₂=-p²

Answer 1

分析：根據拋物線方程可得焦點坐標，進而可設直線L的方程與拋物線聯立根據韋達定理求得x₁+x₂，x₁x₂進而得出y₁y₂根據拋物線定義可求得|AB|的表達式，整理可得|AB|=2p（1+

1

k2

），由于k=tana，進而可知當a=90°時AB|有最小值．

解答：解；焦點F坐標（

p

2

，0），設直線L過F，則直線L方程為y=k（x-

p

2

）
聯立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
由韋達定理得x₁+x₂=p+

2p

k2

  x₁x₂=

p2

4

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正確
|AB|=x₁+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

=2p（1+

1

k2

）∴B正確
因為k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

當a=90°時，即AB垂直于X軸時，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正確
故選C

點評：本題主要考查拋物線的應用．這道題綜合了拋物線的性質、拋物線的焦點弦、直線與拋物線的關系等問題．綜合性很強．