Question

（滿分14分）如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（Ⅰ）求證：平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

⑴證明：見解析； (2)． (3)．

（1）因為AB=AD，O為BD的中點，所以下面再根據勾股定理證即可.
(II)先找出異面直線所成的角是解本小題的關鍵.取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知，∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.然后再把角放在三角形OEM中求解即可.
(III)本小題求點到平面的距離可以利用體積法求解.設點E到平面ACD的距離為
然后根據求解.

⑴證明：連結OC   … 1分
，． ……… 2分
在中，由已知可得 … 3分
而，  …  4分
即  ………  5分
  ∴平面． ………  6分
方法一：⑵解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知，
∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…… 8分
在中， 
是直角斜邊AC上的中線，∴ ……………9分  
∴ ………… 10分
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為． …………………………  11分
⑶．解：設點E到平面ACD的距離為．，  …12分
在中，,,而，．
∴，  ∴點E到平面ACD的距離為…14分
方法二：(2)解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

， ……   9分
∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．……   10分
(3)解：設平面ACD的法向量為則
，∴，
令得是平面ACD的一個法向量．又   
∴點E到平面ACD的距離 ．…14分