Question

本小題滿分14分）
如圖，在直三棱柱中，，，，點、分別是、的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求多面體A₁B₁C₁BD的體積V.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析（Ⅱ）證明：見解析；
（Ⅲ）V=。

試題分析：(I)根據線面平行的判定定理只需證明：AE//平面BC₁D即可.
(II)因為,所以,然后再利用勾股定理證明,
從而可證明：,再根據面面垂直的判定定理得平面平面.
(III) 取A₁B₁中點F，易證：C₁F⊥面A₁B₁BD,從而得到所求四棱錐的高，然后再根據棱錐的體積計算公式計算即可.
（Ⅰ）證明：在矩形中，
由
得是平行四邊形.…………………1分
所以，    …………………2分

又平面，平面，
所以平面…………………4分
（Ⅱ）證明：直三棱柱中，，，，所以平面，…………………6分
而平面，所以.…………………7分
在矩形中，，從而，
所以，                …………………8分
又，所以平面，                  …………………9分
而平面，所以平面平面 …………………10分
（Ⅲ）取A₁B₁中點F，由A₁C₁=B₁C₁知C₁F⊥A₁B₁，……………11分
又直三棱柱中側面ABA₁B₁⊥底面A₁B₁C₁且交線為A₁B₁，故C₁F⊥面A₁B₁BD，……12分
∴V=…………………14分
點評：掌握線線、線面，面面垂直的判定與性質定理是解決此類證明的關鍵，并且還要記住柱，錐，臺體的體積及表面積公式.