Question

某電廠冷卻塔外形是如圖所示的雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面,其中A,A′是雙曲線的頂點,C,C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點,B,B′是冷卻塔下底直徑的兩個端點,已知AA′="14" m,CC′="18" m,BB′="22" m,塔高20 m.

(1)建立坐標系并寫出該曲線的方程;
(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m3,塔壁厚度不計,π取3.14)

Answer 1

（1）
（2）冷卻塔的容積為4.24×103(m3)

思路分析:設出雙曲線的方程,利用待定系數法求方程;利用定積分求旋轉體的體積.
解:(1)建立如圖所示的直角坐標系xOy,

使AA′在x軸上,AA′的中點為坐標原點O,CC′與BB′平行于x軸.
設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),則a=AA′=7.
設B(11,y1),C(9,y2),因為點B,C在雙曲線上,所以有
=1,①
=1,②
由題意,知y2-y1=20.③
由①②③得y1=-12,y2=8,b=.故所求的雙曲線方程為
(2)由雙曲線方程得x2=y2+49.設冷卻塔的容積為V(m3),
則V=π=π(y3+49y)=4.25×103(m3).
答:冷卻塔的容積為4.24×103(m3).