Question

【題目】函數是上的奇函數，當時，.

（1）求的解析式并畫出函數的圖像；

（2）求的根的個數.

Answer 1

【答案】（1）；圖像見詳解；（2）見詳解.

【解析】

（1）由，得，根據已知解析式，得到，再由函數是奇函數，即可得出解析式；根據解析式作出圖像即可；

（2）由（1）的圖像，得到與直線交點個數的情況，再由方程的根的個數，即是與直線的交點個數，即可得出結果.

（1）若，則，因為當時，，

所以，

又函數是上的奇函數，所以，因此；

易知，

所以；

畫出其圖像如下：

（2）由（1）中圖像可得：當或時，與直線有一個交點；

當或時，與直線有兩個交點；

當時，與直線有三個交點；

因為方程的根的個數，即是與直線的交點個數，

因此，當或時，的根的個數為個；

當或時，的根的個數為個；

當時，的根的個數為個；