Question

若f（x）=-

1

2

x2+bln（x+2）在（-1，+∞）上是減函數，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：求出導數f′（x），則f（x）在（-1，+∞）上是減函數等價于-x+

b

x+2

≤0在（-1，+∞）上恒成立，分離參數b后，轉化為求函數最值即可，根據二次函數的性質易求函數最值．

解答：解：f′（x）=-x+

b

x+2

，
故f（x）在（-1，+∞）上是減函數等價于-x+

b

x+2

≤0在（-1，+∞）上恒成立，
由x＞-1得x+2＞0，
原命題成立等價于b≤x²+2x在（-1，+∞）上恒成立，
又y=x²+2x在（-1，+∞）上單調遞增，x²+2x＞-1，
故b≤-1，
故b的取值范圍為（-∞，-1]．

點評：本題考查函數的單調性與導數的關系，可導函數f（x）在（a，b）上單調遞增的充要條件為f′（x）≥0．