Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若在上存在極值點，求的取值范圍；

（2）設， ，若存在最大值，記為，則當時， 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且存在最大值為．

【解析】試題分析：

(1)函數存在極值點，將問題轉化為導函數有根，且不為重根，據此分離系數，結合對勾函數的性質和函數的定義域求解實數 的取值范圍即可；

(2)分類討論，當 時， 不存在最大值，

當 時，由根與系數的關系求得 的解析式，結合 的式子構造新函數 ，利用新函數的性質結合題意即可求得 的最大值.

解：

（1）， .

由題意，得，在上有根（不為重根）.

即在上有解.

由在上單調遞增，得.

檢驗：當時， 在上存在極值點.

∴.

（2）若，∵在上滿足，

∴在上單調遞減，∴.

∴不存在最大值.

則.

∴方程有兩個不相等的正實數根，令其為，且不妨設

則.

在上單調遞減，在上調遞增，在上單調遞減，

對，有；對，有，

∴.

∴

.

將， 代入上式，消去得

∵，∴， .

據在上單調遞增，得.

設， .

， .

∴，即在上單調遞增.

∴

∴存在最大值為.