Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

．
（Ⅰ）寫出函數f（x）的圖象的頂點坐標及其單調遞增、遞減區間；
（Ⅱ）若函數的定義域和值域都是[1，a]（a＞1），求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接對函數進行配方即可得到丁點坐標，再根據開口向上的二次函數在對稱軸左邊遞減右邊遞增即可得到其單調區間；
（Ⅱ）根據其對稱軸為X=1，可得函數在[1，a]上遞增，進而得到其最大值在X=a處取得，得到關于a的等式即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

（x-1）²+1；
∴頂點坐標：（1，1）
又開口向上；所以在[1，+∞）上遞增；在（-∞，1]上遞減．
（Ⅱ）∵其對稱軸為X=1，
∴函數在[1，a]上遞增；
∴當x=1時有最小值1，當x=a時有最大值a．
∴

1

2

a²-a+

3

2

=a⇒a²-4a-3=0⇒a=3或a=1（舍）．
∴a=3．

點評：本題主要考察二次函數在閉區間上的最值問題．求二次函數在閉區間上的最值時，一定要注意討論對稱軸和區間的位置關系，避免出錯．