Question

雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設雙曲線方程為

 

不妨設l₁:bx-ay=0,l₂:bx+ay=0,

所以

（Ⅱ）由a=2b知，雙曲線的方程可化為

X²-4y²=4b².①

由l₁的斜率為知，直線AB的方程為

y=-2(x-).②

將②代入①并化簡，得

設AB與雙曲線的兩交點的坐標分別為（x₁,y₁），(x₂,y₂)，則

③

AB被雙曲線所截得的線段長

④

將③代入④，并化簡得，而由已知l=4，故b=3,a=6.

所以雙曲線的方程為