Question

雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．已知|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差數列，且

BF

與

FA

同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率．
（2）利用第（1）的結論，設出雙曲線的方程，將AB方程代入，運用根與系數的關系及弦長公式，求出待定系數，可求出雙曲線方程．

解答：解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，c2=a2+b2由

BF

，

FA

同向，
∴漸近線的傾斜角為（0，

π

4

），
∴漸近線斜率為：k1=

b

a

＜1∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e2＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

|OB|-|OA|= 1 2 |AB |OA|+|OB|=2|AB

∴|OA|=

3

4

|AB|∴|OA|2=

9

16

|AB|2
可得：

|AB|

|OA|

=

4

3

，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan

1

2

∠AOB
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k2+3k-2=0，∴k=

1

2

(k=-2舍去)；
∴

b

a

=

1

2

∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

1

4

，∴e2=

5

4

∴e=

5

2

（2）由第（1）知，a=2b，可設雙曲線方程為

x2

4b2

-

y2

b2

=1，c=

5

b，
∴AB的直線方程為 y=-2（x-

5

b），代入雙曲線方程得：15x²-32

5

bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=

32 5 b

15

，x₁•x₂=

84b2

15

，
4=

(1+4)[(  32 5 b 15 )2 - 4 • 84b2 15

，16=

32b2

9

-

4×84b2

3

，
∴b²=9，所求雙曲線方程為：

x2

36

-

y2

9

=1．

點評：做到邊做邊看，從而發現題中的巧妙，如據

|AB|

|OA|

=

4

3

，聯想到對應的是2漸近線的夾角的正切值．