Question

過橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點F作傾斜角為

π

4

的直線與橢圓交于M，N兩點，O為坐標原點，則△OMN的面積為

2 6

5

．

Answer 1

分析：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．直線為y=x-1，代入橢圓方程，利用根與系數之間的關系得到|y₁-y₂|，由此能求出△OPQ的面積．

解答：解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．
因為橢圓的右焦點F（1，0），過橢圓的右焦點F（1，0），傾斜角為

π

4

的直線方程為y=x-1，
即x=1+y，代入

x2

3

+

y2

2

=1得5y²+4y-4=0，∴y₁+y₂=-

4

5

，y₁y₂=-

4

5

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 4 5 )2-4×(- 4 5 )

=

4 6

5

，
所以S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

×1×

4 6

5

=

2 6

5

．
故答案為：

2 6

5

．

點評：在涉及焦點弦的問題時常需要把直線與拋物線方程聯立利用韋達定理設而不求．考查學生的運算能力．