Question

（2008•嘉定區一模）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，則當x∈[-4，-2]時，函數f（x）的最小值為

-

1

4

．

Answer 1

分析：定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x），可得出f（x-2）=13f（x），由此關系求出求出x∈[-4，-2]上的解析式，再配方求其最值．

解答：解：由題意定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
任取x∈[-4，-2]，則f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4），
由于x+4∈[0，2]，當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，
故f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）=

1

4

[（x+4）²-2（x+4）]=

1

4

（x²+6x+8）=

1

4

[（x+3）²-1]，x∈[-4，-2]
當x=-3時，f（x）的最小值是-

1

4

．
故答案為：-

1

4

．

點評：本題考查函數的最值及其幾何意義，解題的關鍵是正確正解定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），且由此關系求出x∈[-4，-2]上的解析式，做題時要善于利用恒恒等式．