Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，且離心率為

3

2

．
（1）若過(guò)F₁的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且

PF1

=3

F1Q

，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過(guò)點(diǎn)（0，1），且過(guò)F₁作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的第二定義，構(gòu)建三角形，求得三邊長(zhǎng)，即可求得直線PQ的斜率；
（2）求出橢圓方程，當(dāng)AC為2a，DB⊥x軸時(shí)，面積有最大值，最大值為2；當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，求出AC，BD的長(zhǎng)，表示出四邊形ABCD面積為S=

1

2

|AC||BD|，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，作PD⊥x軸于D，作PN⊥l于N，由第二定義得|PN|=

2 3

3

|PF₁|．
作QM⊥l于M，得|QM|=

2 3

3

|F₁Q|=

2 3

9

|PF₁|，
作QE⊥PN于E，交軸于點(diǎn)A得|EP|=4|AF₁|=

4 3

9

|PF₁|，
∴|F₁D|=3|AF₁|=

3

3

|PF₁|，
∴|PD|=

6

3

|PF₁|，
∴直線PQ的斜率為±

|PF1|

|F1D|

=±

2

；
（2）由題意，b=1，又

c

a

=

3

2

，∴a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
∵DB、AC為過(guò)焦點(diǎn)的兩條直線，∴當(dāng)AC為2a，DB⊥x軸時(shí)，面積有最大值，最大值為2；
當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，F(xiàn)₁（-

3

，0），設(shè)直線AC的方程為y=k（x-

3

）
與橢圓聯(lián)立消去y，（

1

4

+k2）x²-2

3

k2x+3k²-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2 3 k2

1 4 +k2

，x₁x₂=

3k2-1

1 4 +k2

∴|AC|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

×

(x1+x1)2-4x1x2

=

k2+1

1 4 +k2

同理可得|BD|=

4+4k2

k2+4

，
∴四邊形ABCD面積為S=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×

2+k2+ 1 k2

17 16 + 1 4 (k2+ 1 k2 )

令t=k2+

1

k2

，則t≥2，∴S=

1

2

×

2+t

17 16 + 1 4 t

=2×

2+t

17 4 +t

=2（1-

9 4

17 4 +t

）
∵t≥2，∴0＜

9 4

17 4 +t

≤

9

25

，∴

32

25

≤S＜2
∴四邊形ABCD面積最小值為

32

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的第二定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．