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已知橢圓E：

=1（a＞

）的離心率e=

．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．

分析：（1）橢圓方程中給出了短半軸長，結合離心率等于

即可求出a的值，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓的對稱性可知圓心在x軸上，把x=t和橢圓方程聯立求出圓的半徑，然后由弦心距公式求出AB的長，代入面積公式后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）∵橢圓E：

=1（a＞

）的離心率e=

，
∴

a2-3

，解得a=2．
∴橢圓E的方程為

=1；
（2）依題意，圓心C（t，0）（0＜t＜2）．
由

x=t

，得y2=

12-3t2

．
∴圓C的半徑為r=

12-3t2

．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且圓心C到y軸的距離d=t，
∴0＜t＜

12-3t2

，即0＜t＜

．
∴弦長|AB|=2

r2-d2

12-3t2

-t2

12-7t2

．
∴△ABC的面積S=

•t•

12-7t2

×(

t)•

12-7t2

≤

(

t)2+12t-7t2

．
當且僅當

12-7t2

，即t=

時等號成立．
所以△ABC的面積的最大值為

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用基本不等式求最值，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．

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如圖，已知橢圓E：

=1（a＞b＞0），焦點為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周長等于8

，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8

．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，探求k₁和k₂的關系；
（3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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=1（a＞b＞0），以F₁（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F₁，過點B₂（0，b）作圓F₁的兩條切線，設切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經過點B₁（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（

-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區間（-

，-

）內取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2012•佛山二模）已知橢圓E：

=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-

，0)，而且過點H(

，

)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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已知橢圓E：

+y2=1（a＞1）的離心率e=

，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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