Question

（本題滿分12分）

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點A，B。

   （1）若|AB|=8，求拋物線的方程；

   （2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求的面積S的最大值；

   （3）設P是拋物線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）證明見解析。

【解析】

解：設

   （1）由條件知直線

由消去y，得                              …………1分

由題意，判別式（不寫，不扣分）

由韋達定理，

由拋物線的定義，

從而所求拋物的方程為                           …………3分

   （2）設。由（1）易求得

則                                                     …………4分

點C到直線的距離

將原點O（0，0）的坐標代入直線的左邊，

得

而點C與原點O們于直線的同側，由線性規劃的知識知

因此                                                              …………6分

由（1），|AB|=4p。

由

知當      …………8分

   （3）由（2），易得

設。

將代入直線PA的方程

得

同理直線PB的方程為

將代入直線PA，PB的方程得

                                             …………10分

                                                          …………12分