Question

若f（x）是二次函數，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）函數y=f（x+a）在區間[-1，3]上不單調，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x求得a、b、c的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）由于y=f（x+a） 在[-1，3]不單調，可得對稱軸在區間[-1，3]內，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）∵y=f（x+a）=（x+a）²-（x+a）+1=x²+（2a-1）x+a²-a+1 在[-1，3]不單調，
∴二次函數f（x）的對稱軸x=-a+

1

2

在區間[-1，3]內，
∴-1＜-a+

1

2

＜3，
∴-

5

2

＜a＜

3

2

，
∴k的取值范圍為{a|-

5

2

＜a＜

3

2

}．

點評：本題考查了利用待定系數法求函數的解析式以及二次函數的性質應用問題，是基礎題．