Question

設y=f（x）是二次函數，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積；
（3）若直線x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據導函數的解析式設出原函數的解析式，根據有兩個相等的實根可得答案．
（2）根據定積分的定義可得答案．
（3）由題意可得

∫

-t -1

(x2+2x+1)dx=

∫

0 -t

(x2+2x+1)dx，化簡得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．

解答：解：（1）∵f′（x）=2x+2   設f（x）=x²+2x+c，
根據f（x）=0有兩等根，得△=4-4c=0解得c=1，即f（x）=x²+2x+1；
（2）S=

∫

0 -1

(x2+2x+1)dx=(

1

3

x3+x2+x)

|

0 -1

=

1

3

．
（3）由題意可得

∫

-t -1

(x2+2x+1)dx=

∫

0 -t

(x2+2x+1)dx
即 (

1

3

x3+x2+x)

|

-t -1

=(

1

3

x3+x2+x)

|

0 -t

．
即-

1

3

t3+t2-t+

1

3

=

1

3

t3-t2+t，∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-

1

3 2

．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，導數的運算，定積分的應用，屬于中檔題．