Question

已知x=2是函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一個極值點
（I）求實數(shù)a的值；
（II）求函數(shù)f（x）在x∈[

3

2

，3]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由x=2是函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一個極值點可得到x=2是f′（x）=0的根，從而求出a；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在x=1或2處取極值，比較極值與端點函數(shù)值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）由f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x可得
∴f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x=[x²+（2+a）x-a-3]e^x
∵x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e²=0，
解得a=-5；
（II）由（I）知，f′（x）=（x-2）（x-1）e^x，
∴函數(shù)在x=1或2處取極值
∵f（1）=3e，f（2）=e²，f（3）=e³，f(

3

2

)=

7

4

e

3

2

∴函數(shù)f（x）在x∈[

3

2

，3]的最小值為f（2）=e²；最大值為e³．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．