Question

已知x=2是函數f（x）=alnx+x²-12x的一個極值點．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數f′（x），由f'（2）=0求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，由f′（x）=0，求得極值點的橫坐標，再根據導數的符號求出函數f（x）的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

+2x-12，（x＞0），
由已知f'（2）=0得，

a

2

-8=0，解得a=16．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，x∈（0，+∞），
令f′（x）=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

=0，解得 x=2或 x=4．
當x∈（0，2）時，f′（x）＞0；
當x∈（2，4）時，f′（x）＜0；
x∈（4，+∞）時，f′（x）＞0．
所以f（x）的單調增區間是（0，2），（4，+∞）；
f（x）的單調減區間是（2，4）

點評：本題主要考查函數在某一點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．