【題目】已知函數
在
處的切線方程為
.
（1）求
的值；
（2）當
時，
恒成立，求整數
的最大值.
【答案】（1）
，
（2）2
【解析】
（1）先求導
，將
代入導函數得切線斜率，將代入原函數
得切點縱坐標，再運用點斜式求出切線方程；
（2）法一：可知
，先分離參數
，構造新函數
和
，求出單調性，通過求出的最值，便得到
的最大值.
法二：先通過構造新函數，求出單調區間，再用分離參數，利用基本不等式求出的最大值.
（1）∵
，在處的切線方程為
∴
∴
解得
（2）解法1：∵
，由
∴
令
，則
令
，則
在
上單調遞增，
∴
，使得
，即
∴
在
上遞減，在
上遞增
，∵
∴
∴
∵
，∴整數的最大值為2
解法2：令
顯然
在上遞增
當
時，
在上遞增，
，合題意
當
時，
，則
，即
在上遞減，在上遞增
即
，而
恒成立
∴
∵
，
，∴
.又∵.
若
，
，
，使得
，不合題意舍去.
若
.
，
在上遞減，在上遞增
∴
，合題意
∴整數的最大值為2.
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【題目】已知正三棱柱
中，所有棱長都是3，點D，E分別是線段
和
上的點，
.
（1）試確定點E的位置，使得
平面
，并證明；
（2）若直線
與平面
所成角的正弦值為
，求二面角
的余弦值的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
、
分別是橢圓
的上、下頂點，以
為直徑作圓
，直線
與橢圓
交于、
兩點，與圓交于、
兩點.
（1）若直線的傾斜角為
，求
（
為坐標原點）的面積；
（2）若點
、
分別在直線
、
上，且
，求直線的斜率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一只紅玲蟲的產卵數
和溫度
有關.現收集了7組觀測數據如下表:
溫度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
產卵數 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
為了預報一只紅玲蟲在
時的產卵數，根據表中的數據建立了與的兩個回歸模型.模型①:先建立與的指數回歸方程
，然后通過對數變換
，把指數關系變為
與；模型②:先建立與的二次回歸方程
，然后通過變換
，把二次關系變為與
的線性回歸方程:
.
（1）分別利用這兩個模型，求一只紅玲蟲在時產卵數的預測值；
（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.（參考數據:模型①的殘差平方和
，模型①的相關指數
；模型②的殘差平方和
，模型②的相關指數
；
，
，
；
，
，
，
，
，
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區仍然存在封建傳統思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現隨機抽取某地200戶家庭進行調查統計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數為60.
（1）完成下列
列聯表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關；
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在頭胎生女孩家庭中抽取了5戶，進一步了解情況，在抽取的5戶中再隨機抽取3戶，求這3戶中恰好有2戶生二孩的概率.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有一種叫“對對碰”的游戲，游戲規則如下：一輪比賽中，甲乙兩人依次輪流拋一枚質地均勻的硬幣，甲先拋，每人拋3次，得分規則如下：甲第一次拋得
分，再由乙第一次拋，若出現朝上的情況與甲第一次拋的朝上的情況一樣，則本次得2分，否則得1分；再甲第二次拋，若出現朝上的情況與乙第一次拋的朝上的情況一樣，則本次得分是乙第一次得分的基礎上加1分，否則得1分；再乙第二次拋，若出現朝上的情況與甲第二次拋的朝上的情況一樣，則本次得分是甲第二次得分的基礎上加1分，否則得1分；按此規則，直到游戲結束.記甲乙累計得分分別為
.
（1）一輪游戲后，求
的概率；
（2）一輪游戲后，經計算得乙的數學期望
，要使得甲的數學期望
，求
的最小值.
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