Question

【題目】已知函數．

（1）令，討論的單調性；

（2）若，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數當時在上單調遞減；當時在單調遞增，在單調遞減.（2）

【解析】

（1）表示的解析式，先確定定義域，再對其求導，利用分類討論a的正負，解大于零和小于零的不等式，求得范圍對應為增區間與減區間；

（2）等價于，利用（1）中的單調性結果，利用分類討論思想表示，使其小于等于0，解得對應a的取值范圍，綜上分類討論結果，求得答案.

（1）由題可知，定義域為

所以

當時，即，則在上單調遞減；

當時，令得（負根舍去）．

令得；令得，

所以在單調遞增，在單調遞減，

綜上所述，函數當時在上單調遞減；當時在單調遞增，在單調遞減.

（2），即．

當時，，符合題意，

當時，由（1）可知，

，，，．

當時，在上單調遞減，

且與的圖象在上只有一個交點，

設此交點為，則當時，，

故當時，不滿足．

綜上，a的取值范圍為．