Question

過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線交橢圓x²+4y²=4于A，B兩點，則|AB|的最大值是（　　）

• A．2
• B．4
• C．3
• D．2

  3

Answer 1

分析：設出直線AB所在的直線方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑得到m和直線的斜率的關系式，再把直線方程和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，代入弦長公式后轉化為含有一個字母的函數關系，然后利用基本不等式求最值．

解答：解：設直線AB的方程為y=k（x-m），
由直線AB與圓x²+y²=1相切可知，圓心到直線的距離d=

|km|

k2+1

=1，
化簡得k²m²=k²+1．
將直線方程y=k（x-m）代入橢圓方程x²+4y²=4消y，得
（4k²+1）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2m

4k2+1

，x1x2=

4k2m2-4

4k2+1

|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 8k2m 4k2+1 )2-4• 4k2m2-4 4k2+1

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+3|m|

≤

4 3

2 3

=2
當且僅當|m|=

3

|m|

，即|m|=√3，m=±√3時，取等號
當直線AB與X軸垂直，切點為（±1，0），將x=±1代入橢圓方程求得y=±√3/2
∴此時|AB|=√3＜2
綜上，m=±√3，有|AB|最大值2．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了分類討論得數學思想方法，訓練了弦長公式的應用，考查了利用基本不等式求最值，考查了學生的運算能力，是有一定難度題目．