Question

在周長為定值的△ABC中，已知，動點C的運動軌跡為曲線G，且當動點C運動時，cosC有最小值．
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，求曲線G的方程．
（2）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交曲線G于M，N兩點．將線段MN的長|MN|表示為m的函數________，并求|MN|的最大值．

Answer 1

解：（1）設|CA|+|CB|=2a（）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
所以焦距．（2分）
因為
又 ，所以 ，
由題意得．
所以C點軌跡G的方程為（6分）
（2）由題意知，|m|≥1．
當m=1時，切線l的方程為x=1，點M，N的坐標分別為（1，-），（1，），此時|MN|=．
當m=-1時，同理可知|MN|=．（7分）
當|m|＞1時，設切線l的方程為y=k（x-m），代入橢圓方程，消元得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．（8分）
設M，N兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁x₂=，
又由l與圓x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，
所以|MN|===．（12分）
由于當m=±1時，|MN|=．
所以|MN|=，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因為|MN|==≤2，且當m=±時，|MN|=2．
所以|MN|的最大值為2．（14分）
分析：（1）設|CA|+|CB|=2a（）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，焦距，利用余弦定理及基本不等式，結合cosC有最小值，即可求得曲線G的方程；
（2）由題意知，|m|≥1，分類討論：當m=±1時，|MN|=；當|m|＞1時，設切線l的方程為y=k（x-m），代入橢圓方程，消元，由l與圓x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，由此可得線段MN的長|MN|表示為m的函數，利用基本不等式，即可求得|MN|的最大值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查基本不等式的運用，考查直線與圓、橢圓的位置關系，解題的關鍵是確定曲線方程與函數解析式．