Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)設橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點為，所以，橢圓C的方程是x²+=1. …………（4分）

    (Ⅱ)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．

由解得即兩圓相切于點(1，0)．

因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）

事實上，點T(1，0)就是所求的點．證明如下：

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k(x+)．由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

記點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則…………（9分）

又因為=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

·=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1 =(k²+1) +(k²-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(1，0)．

所以在坐標平面上存在一個定點T(1，0)滿足條件． …………（13分）

 

【解析】略