Question

A．已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實數解，則a的取值范圍為

[-3，-1）

．
B．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25^•，則∠D=

115°

．
C．設曲線C的參數方程為

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

（θ為參數），直線l的參數方程為

x=1+2t y=1+t

（t為參數），則直線l被曲線C截得的弦長為

4

．

Answer 1

分析：A．若方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實數解，實數a+1應該屬于函數y=|2^x-1|-|2^x+1|的值域，我們結合絕對值函數在定區間上的值域求法，易得函數y=|2^x-1|-|2^x+1|的值域，進而得到實數a的取值范圍．
B．觀察要求的角，包括兩部分即∠ADB和∠BDC，根據同弧所對的圓周角和弦切角相等，得到∠ADB的度數，根據要求的角包含的另一部分是直徑所對的圓周角，得到結果．
C．由題意曲線C的參數方程是：

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

（θ為參數），

x-2=3cosθ y+1=3sinθ

，然后兩個方程兩邊平方相加，即可求解；然后找出圓心和半徑，構造直角三角形，從而求出弦長．

解答：解：A．設y=|2^x-1|-|2^x+1|，再令2^x=t，則y=|t-1|-|t+1|，（t＞0），其圖象如圖所示，
∴-2≤y＜0，
由方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實數解
∴-2≤a+1＜0，
∴-3≤a＜-1
故實數a的取值范圍[-3，-1）．
故答案為：[-3，-1）
B．連接BD，AC，根據弦切角定理∠MAB=∠ACB=∠ADB=25°
∵∠D所對的弧是

ABC

，
∴∠D=∠ADB+∠BDC
∴所求角度為25°+90°=115°
故答案為：115°
C．∵曲線C的參數方程是：

x-2=3cosθ y+1=3sinθ

，（θ為參數），
∴（x-2）²+（y+1）²=9，
∴圓心0為（2，-1），半徑r=3，
直線l的參數方程為

x=1+2t y=1+t

（t為參數），它的普通方程為：x-2y+1=0，
∵曲線C被直線l所截，
∴圓心到直線的距離為：d=

|2+2+1|

5

=

5

，
∴弦長=2×

32-( 5 )2

=4，
故答案為：4．

點評：A．方程f（x）=a有實數解，即a屬于函數y=f（x）的值域，然后將方程有實根的問題，轉化為求函數值域的問題．
B．本題考查同弧所對的圓周角和弦切角相等，考查直徑所對的圓周角等于直角，本題只要觀察清楚圖象中各個角之間的關系，就可以求出角的大小，這種題目隱含的條件比較多，注意挖掘．
C．此題考查參數方程與普通方程的區別和聯系，兩者要會互相轉化，根據實際情況選擇不同的方程進行求解，還考查了直線與圓相交的性質．