Question

（08年天津南開區質檢二文）（14分）

已知某橢圓的焦點是，過點并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且。橢圓上不同的兩點滿足條件：成等差數列。

（1）求該橢圓的方程；

（2）求弦AC中點的橫坐標；

（3）設弦AC的垂直平分線的方程為，求m的取值范圍。

 

Answer 1

解析：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力。

（1）解：由橢圓定義及條件知，得，又

所以，故橢圓方程為（5分）

（2）解：由點B（4，）在橢圓上，得

因為橢圓右準線方程為，離心率為

根據橢圓定義，有

由成等差數列，得

由此得出，設弦AC的中點為P（）

則 （10分）

（3）解：由在橢圓上，得 ①

 ②

①－②得

即

將代入上式，得

由上式得（當時也成立）（12分）

由點P（4，）在弦AC的垂直平分線上，得

所以

由P（4，）在線段BB′（B′與B關于x軸對稱）的內部，得，所以（14分）