Question

在△ABC中，∠A=

π

6

，D是BC邊上任意一點（D與B，C不重合）且|

AB

|2=|

AD

|2+

BD

•

DC

，則∠B=（　　）

• A．

  π

  12

• B．

  5π

  12

• C．

  π

  4

• D．

  7π

  12

Answer 1

分析：作高AE，不妨設E在CD上，設AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，則DE=p-x，BE=p+q-x，根據|

AB

|2=|

AD

|2+

BD

•

DC

，可得pq=BD•CD=q（q+2p-2x），從而可得結論．

解答：解：作高AE，不妨設E在CD上，設AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，則DE=p-x，BE=p+q-x，
則AD²=AE²+DE²=h²+（p-x）²，AB²=AE²+BE²=h²+（p+q-x）²，
所以AB²-AD²=（p+q-x）²-（p-x）²=2pq-2xq+q²，
∵|

AB

|2=|

AD

|2+

BD

•

DC

，
∴pq=BD•CD=q（q+2p-2x），
∵q≠0，∴p=q+2p-2x，
∴x=

p+q

2

=

BC

2

，
即E為BC中點，于是ABC為等腰三角形．
∵頂角為

π

6

，∴底角B=

5π

12

故選B．

點評：本題主要考查了解三角形問題．解題的關鍵是通過題設條件建立數學模型，考查了學生分析問題和解決問題的能力．