Question

（2013•臨沂一模）已知函數f(x)=cos

x

2

-

3

sin

x

2

．
（I）若x∈[-2π，2π]，求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若f(2A-

2

3

π)=

4

3

，sinB=

5

cosC，a=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）先利用兩角和的余弦公式化為f（x）=2cos(

x

2

+

π

3

)，再利用余弦函數的單調性即可得出；
（II）由f(2A-

2π

3

)=

4

3

利用（I）的結論可得cosA=

2

3

，利用平方關系可得sinA，利用

5

cosC=sinB=sin(A+C)，及平方關系可得sinC與cosC．即可得到sinB．再利用正弦定理及三角形的面積公式可得S△=

a2

2

sinBsinC

sinA

即可得出．

解答：解：（I）函數f(x)=cos

x

2

-

3

sin

x

2

=2(

1

2

cos

x

2

-

3

2

sin

x

2

)=2cos(

x

2

+

π

3

)，
由2kπ≤

x

2

+

π

3

≤2kπ+π，解得4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

，k∈Z．
∵x∈[-2π，2π]，令k=0，得-

2π

3

≤x≤

4π

3

，
∴函數f（x）的單調減區間為[-

2π

3

，

4π

3

]；
（II）由（I）可得：f(2A-

2π

3

)=2cos(A-

π

3

+

π

3

)=

4

3

，∴cosA=

2

3

，
∵A∈（0，π），∴sinA=

1-cos2A

=

5

3

，
又∵

5

cosC=sinB=sin(A+C)，∴

5

cosC=

5

3

cosC+

2

3

sinC，
化為

5

cosC=sinC，∴tanC=

5

．
∵C∈（0，π），∴sinC=

5

6

，cosC=

1

6

，∴sinB=

5

cosC=

5

6

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，∴b=

asinB

sinA

．
∴S△=

1

2

absinC=

a2

2

×

sinBsinC

sinA

=

( 2 )2

2

×

5 6 × 5 6

5 3

=

5

2

．

點評：本題綜合考查了三角函數的單調性、平方關系、兩角和的正弦余弦公式、正弦定理、三角形的面積公式等基礎知識與方法，需要較強的推理能力和計算能力．