Question

已知數列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

，且當n≥2，n∈N時，3a_n+1=4a_n-a_n-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，
（1）求極限

lim

n→∞

n

i=1

ai；
（2）求證：2

n

i=1

ai＞1．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關系變形，利用等比數列的定義，證得數列{a_n+1-a_n}成等比數列．利用等比數列的通項公式求出a_n+1-a_n=

2

9

（

1

3

）^n-1，利用累加可求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）利用記

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，直接求和，（1）然后利用和值求出數列的極限即可．
（2）利用數學歸納法證明，當n=1時，顯然成立；假設n=k時，結論成立，再證明n=k+1 時，結論成立即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意，當n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1⇒3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以 an+1-an=

1

3

(an-an-1)，
所以 {an+1-an}是以a2-a1=

2

9

為首項，

1

3

為公比的等比數列．
得 an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0
累加得 an-a1=1-(

1

3

)n，得 an=1-(

1

3

)n
（Ⅱ）（1）因為an=1-(

1

3

)n，所以

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n=(1-

1

3

)(1-

1

9

)(1-

1

27

)…  [1-(

1

3

)n  ]=

2

3

•

8

9

•

26

27

…

(3n-1)

3n

當n→+∞時，an=1-(

1

3

)n→1，∴極限

lim

n→∞

n

i=1

ai=1；
 （2）當n=1時，顯然成立
假設n=k時，結論成立，即2a₁•a₂•a₃…a_k＞1．
則n=k+1 時，左邊＞ak+1=1-(

1

3

)k+1＞1
故結論成立．

點評：本題考查證明數列是等比數列常用數列的方法：是定義法與等比中項的方法；注意構造新數列是求數列的通項的常用的方法．