Question

設A、B、C是半徑為1的球面上的三點，B、C兩點間的球面距離為

π

3

，點A與B、C兩點間的球面距離均為

π

2

，O為球心，
求：（1）∠AOB、∠BOC的大小；
（2）球心O到截面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）根據球面距離的定義可得）∠AOB、∠BOC的大小；
（2）欲求球心O到截面ABC的距離，截面圓的圓心為O₁，可通過解直角三角形AOO₁解決．

解答：解：如圖，（1）因為球O的半徑為1，B、C兩點間的球面距離為

π

3

，
點A與B、C兩點間的球面距離均為

π

2

，所以∠BOC=

π

3

，∠AOB=∠AOC=

π

2

．
（2）因為BC=1，AC=AB=

2

，所以由余弦定理得cos∠BAC=

3

4

，
sin∠BAC=

7

4

，設截面圓的圓心為O₁，連接AO₁，
則截面圓的半徑R=AO₁，由正弦定理得r=

BC

2sin∠BAC

=

2 7

7

，
所以OO₁=

OA2-r2

=

21

7

．

點評：本題主要考查了球的性質、正弦定理解三角形以及點面間的距離計算，屬于基礎題．